Komputasi Numerik Pada Sistem Titik Ambang

A. Pendahuluan

- Komputasi ilmiah : ilmu pengetahuan alam, matematika, rekayasa dan komputer

- Komputasi ilmiah : mencari penyelesaian utk suatu persoalan melalui pemodelan matematis

- Persoalan matematika kadang kala diselesaikan secara analitik

B. Sistem Penyajian Bilangan

• Ada dua kategori:

1. bilangan bulat (integer), mencakup bilangan bulat negatif dan positif, sehingga diperlukan cara untuk membedakan dua bilangan yang memiliki tanda berbeda meskipun memiliki nilai yang sama.

  Contoh : -3 -2 -1 0 1 2 3

2. bilangan riil (real), bersifat kontinu dan tak hingga. Penyajian bilangan rill dengan menggunakan sistem titik tetap artinya kita menuliskan bilangan tersebut dalam dua komponen yaitu angka bulat dan angka pecahan, contoh :

Bilangan yang berada didepan tanda koma merupakan bilangan bulat yang posisi paling kanan hingga kekiri berturut-turut menyajikan bilangan satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya. Sedangkan bilangan yang berada dibelakang tanda koma merupakan angka pecahan yang posisi paling kiri hingga kekanan berturut-turut menyatakan angka perpuluhan, per ratusan, dan seterusnya.

• Penyajian bil. Real dengan sistem titik ambang dinyatakan dalam 3 komponen yaitu: mantissa, basis, eksponen (pangkat) seperti contoh berikut :

•  0,231432 x 10 -12

• -0,3431202 x 10 7

C. Penyajian Bilangan di Komputer

• Komputer menyimpan dan menyajikan bilangan dalam suatu deretan bit sesuai dengan rancangan dan spesifikasi prosesor yang digunakan. Kita mengenal ada mesin dengan prosesor 16 bit, 32 bit, 64 bit, atau bahkan 128 bit. Namun mesin komputer yang umum kita temukan sekarang menggunakan sistem prosesor 32 bit (8 work).

Sistem yang umum digunakan:

1. Bilangan tipe bulat

  ada 2 macam bilangan bulat yang dikenal, yaitu : un-signed integer dan signed integer dengan asumsi basis 2 (biner)

• Unsigned integer, contoh: dilandasi sistem ALU Arithmatic Logic Unit mesin komputer

• Yaitu, mengambil 2 input string biner dan melakukan penjumlahan

• Contoh : digunakan 5 bit utk menyimpan bil. Bulat. Karena angka 7 disajikan dengan 00111, maka -7 disajikan sebagai 11001 karena:

  00111

  11001

   +

  00000

 

Selanjutnya untuk memberi gambaran bagaimana masing-masing bilangan bulat disajikan, contoh kasut 3 bit, dimana dapat disjikan 8 bilangan bulat :

• Secara umum, jika disediakan m-bit utk menyajikan bilangan bulat, maka dgn sistem di atas akan terdapat 2m-1  bil. Bulat nonnegatif yg dpt disajikan yaitu 0,1,.., 2m-1  - 1, dan 2m-1  - 1 bil. Bulat negatif yaitu -2m-1  hingga - 1, sehingga secara keseluruhan dpt disajikan 2m  bilangan bulat.

• Menganut prinsip wrap-around yaitu jika bilangan terbesar ditambah 1 maka diproleh bilangan negatif terkecil dan sebaliknya bila bilangan negatip terkecildikurangi 1 maka akan diperoleh bilangan terbesar. Sehingga bilangan bulat tersebut bagaikan berada disuatu pita menlingkar.

2. Bilangan Tipe Riil

• Suatu mesin memiliki 1 bit utk tanda, p bit mantissa dan s bit eksponen, dan menggunakan basis β. Bilangan ini disebut tipe data float.

• Ilustrasi kita gunakan mesin 32 bit dengan sistem IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) standar dan basis 2, yaitu:

  sign-bit  = 1 bit

  mantissa (p)  = 23 bit

  eksponen (s)  = 8 bit

Model representasi bilangan titik ambang diberbagai mesin

D. Akurasi dan Kestabilan Numerik

• Pernyataan mendasar yang terkait dengan menyelesaikan suatu persoalan matematis adalah penyangkut akurasi, yaitu sejauh mana kita dapat mempercayai bahwa penyelesaian yang diproleh adalah benar merupakan solusi yang kita cari (akurat).

• Defenisi Error: perbedaan antara suatu nilai dengan nilai yang seharusnya.

• Ada 2 kategori error:

1. Error data, bisa diakibatkan oleh beberapa faktor misalnya kesalahan manusia yang memasukkan data, kesalahan alat pengukuran yang digunakan saat akusisi data, dll.

2.  Error komputasi,

• Error komputasi dibagi 2 tipe: error pembulatan (rounding error) dan error pemotongan (truncation error). Kedua tipe orror ini tentu saja bisa terjadi secara bersama-sama. Error pembulatan disebabkan oleh keterbatasan mesin komputer dalam menyimpan dan mengoprasikan bilangan. Error pemotongan disebabkan oleh pendekatan rumus matematik yang kita gunakan.

• Dari sisi mengukur, error disajikan 2 cara:

1. Error mutlak (absolute error)

2. Error relative (relative error)

  Bila x adalah merupakan bilangan hasil komputasi dan y adalah nilai yang seharusnya,  maka :

   Error-mutlak = l x – y l

   Error-relative = l x – y l / l y l

• Kejadian tentang akurasi tidak terpisah dengan pengukuran dan analisis terhadap error. Ada dua pendekatan yang lazim dilakukan dalam analisis error, yaitu analisis maju (forward error analisis) dan analisis mundur (backward error analisis). Analisis maju dilakukan dengan langsung membandingkan antara hasil komputasi dengan solusi yang seharusnya. Untuk itu bisa digunakan analisis mundur, yaitu dengan menganalisis error secara langsung.

• Sebagai ilustrasi misalkan kita diminta untuk menghitung besarnya  , dan hasil kompuasi kita memberikan angka 1,9.maka dari sudut pandang analisis maju, berdasarkan error mutlak pada komputasi ini adalah l 2,0 – 1,9 l = 0,1. Hal ini dapat kita lakukan karena kita mengetahui bahwa   = 2,0. namun tampa harus mengetahui beberapa     yang seharusnya, kita bisa menggunakan analisis mundur yaitu dengan menghitung l (1,9)2 – 4 l = 0,39.

E. Sensitivitas dan Bilangan kondisi

• Proses komputasi oleh komputer akan melibatkan 3 tahap berikut, membaca atau mengambil input, melakukan proses operasi aritmatika, dan mengeluarkan output. Sudah dijelaskan juga bahwa tidak mungkin untuk menghindari adanya error pada sisi input mengingat tidak semua bilangan bisa disajikan secara tepat oleh komuter.

• Sebagai contoh kita ambil dua bilangan x dan y pada suatu mesin dengan mentissa atau presisi 6 bit, dimana :

• X = 0,123456

• Y = 0.123567

Maka

  x – y = 0,000089 x 10-4

• Perhatikan bahwa karena sistem penyajian float menggunakan sistem normalizet, maka angka 0 yang berada didepan bukanlah nilai signifikan karena akan digeser oleh bilangan tidak nol. Akibatnya, hasil pengurangan hanya memiliki 2 digit signifikan. 

Terima Kasih