Logika Fuzzy II

FUNGSI KEANGGOTAAN HIMPUNAN FUZZY (MEMBERSHIP FUNCTION)

•Adalah suatu fungsi (kurva) yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1.

•Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan :

1.Linier

2.Segitiga

3.Trapesium

4.Sigmoid

5.Phi

Fungsi Keanggotaan

Fungsi Linier

 
Segitiga

Trapesium

 

Sigmoid

Phi

Operasi Logika ( Operasi Himpunan Fuzzy)

•Operasi logika adalah operasi yang mengkombinasikan dan memodifikasi 2 atau lebih himpunan fuzzy.

•Nilai keanggotaan baru hasil operasi dua himpunan disebut firing strength atau a predikat, terdapat 3 operasi dasar pada himpunan fuzzy :

–OR (Union)

–AND (Intersection)

–NOT (Complement)

 OR (Union)

•Fuzzy union (È): union dari 2 himpunan adalah maksimum dari tiap pasang elemen  element pada kedua himpunan

•Contoh:

–A = {1.0, 0.20, 0.75}

–B = {0.2, 0.45, 0.50}

–A È B = {MAX(1.0, 0.2), MAX(0.20, 0.45), MAX(0.75, 0.50)}

  = {1.0, 0.45, 0.75}

Misal nilai keanggotaan umur 27 pada himpunan muda adalah mMUDA[27] = 0,6 dan nilai keanggotaan 2 juta pada himpunan penghasilan TINGGI adalah mGAJITINGGI[2juta] = 0,8  

  maka a -predikat untuk usia MUDA atau berpenghasilan TINGGI adalah nilai keanggotaan maksimum :

  mMUDA ÈGAJITINGGI

  = max(MUDA[27], GAJITINGGI[2juta])

  = max (0,6 ;  0,8)

  = 0,8

 And (Intersection)

Fuzzy intersection (Ç): irisan dari 2 himpunan fuzzy adalah minimum dari tiap pasang elemen pada kedua himpunan.

contoh.

¡A Ç B = {MIN(1.0, 0.2), MIN(0.20, 0.45), MIN(0.75, 0.50)} = {0.2, 0.20, 0.50}

¡Misal nilai keanggotaan umur 27 pada himpunan muda adalah mMUDA[27] = 0,6 dan nilai keanggotaan 2 juta pada himpunan penghasilan TINGGI adalah mGAJITINGGI[2juta] = 0,8

  maka a -predikat untuk usia MUDA dan berpenghasilan TINGGI adalah nilai keanggotaan minimun :

  mMUDAÇGAJITINGGI

  = min(m MUDA[27], m GAJITINGGI[2juta])

  = min (0,6 ;  0,8)

  = 0,6

Not (Complement)

•Komplemen dari variabel fuzzy dengan derajat keanggotaan=x adalah (1-x).

•Komplemen ( _c): komplemen dari himpunan fuzzy terdisi dari semua komplemen elemen.

•Contoh

–Ac = {1 – 1.0, 1 – 0.2, 1 – 0.75} = {0.0, 0.8, 0.25}

–Misal nilai keanggotaan umur 27 pada himpunan muda adalah mMUDA[27]= 0,6   maka a -predikat untuk usia TIDAK MUDA adalah :

  mMUDA’[27]   = 1 - MUDA[27

            = 1 - 0,6

            = 0,4

Contoh

Nilai keanggotaan sebagai hasil dari operasi 2 himpunan: fire strength  atau a-predikat

AND 

mAÇB [x]  = min(mA[x], mB[x])

Misalkan nilai keanggotaan IP 3.2 pada himpunan IPtinggi adalah 0.7 dan nilai keanggotaan  8 semester pada himpunan LulusCepat adalah 0.8 maka a-predikat untuk IPtinggi dan LulusCepat:

 

mIPtinggiÇLulusCepat = min(mIPtinggi[3.2], mLulusCepat[8])
                         = min(0.7,0.8) = 0.7

OR 

mAÈB [x]   = max(mA[x], mB[x])

 

a-predikat untuk IPtinggi atau LulusCepat:

mIPtinggiÈLulusCepat = max(mIPtinggi[3.2], mLulusCepat[8])
                         = max(0.7,0.8) = 0.8

NOT

mA’[x]   = 1 - mA[x]

a-predikat untuk BUKAN IPtinggi :

mIPtinggi‘  = 1 - mIPtinggi[3.2] = 1 - 0.7 = 0.3

 Penalaran Monoton (Aturan Fuzzy If Then )
 

•Metode penalran secara monoton digunakan sebagai dasar untuk teknik implikasi fuzzy. Meskipun penalaran ini sudah jarang sekali digunakan, namun kadang masih digunakan untuk penskalaan fuzzy. Jika 2 variabel fuzzy direlasikan dengan implikasi sederhana sebagai berikut :

 

  If x is A Then Y is B

  atau y=f((x,A),B)

  maka sistem fuzzy dapat berjalan tanpa harus melalui komposisi dan dekomposisi fuzzy. Nilai output dapat diestimasi secara langsung dari nilai keanggotaan yang berhubungan dengan antesendennya

 Contoh Implementasi
a. aplikasi fungsi implikasi min

If X1 is A1 and X2 is A2 Then Y is B

b. aplikasi fungsi implikasi dot

If X1 is A1 and X2 is A2 Then Y is B

 

Gambar diatas  (a) Aplikasi fungsi implikasi menggunakan operator min.  (b)  Aplikasi fungsi implikasi menggunakan operator dot.

Fungsi Implikasi

• Bentuk umum aturan yang digunakan dalam fungsi implikasi :

IF x is A THEN y is B

  dengan x dan y adalah skalar, A dan B adalah himpunanfuzzy.

  Proposisi yang mengikuti IF disebut anteseden, sedangkan proposisi yang mengikuti THEN disebut konsekuen.

Secara umum, ada dua fungsi

implikasi, yaitu :

1. Min (minimum), fungsi ini akan memotongoutput himpunanfuzzy

2. Dot (product), fungsi ini akan menskalaoutput himpunanfuzzy

 Fuzzy Inference System

> Model Fuzzy Mamdani

> Model Fuzzy Sugeno

> Model Fuzzy Tsukamoto

Pengantar

•     Operasi dari sistem pakar fuzzy tergantung dari eksekusi 4 fungsi utama:

–Fuzzification: definisi dari himpunan fuzzy dan  penentuan derajat keanggotaan dari crisp input pada sebuah himpunan fuzzy

–Inferensi: evaluasi kaidah/aturan/rule fuzzy untuk menghasilkan output dari tiap rule

–Composisi: agregasi atau kombinasi dari keluaran semua rule

–Defuzzification: perhitungan crisp output

 Model Mamdani

• Sering dikenal dengan nama Metode Max-Min. Metode ini diperkenalkan oleh Ebrahim Mamdani pada tahun 1975.

• Untuk mendapatkan output diperlukan 4 tahapan :

1.Pembentukan himpunan fuzzy Variabel input maupun output dibagi menjadi satu atau lebih himpunan 2.Aplikasi fungsi implikasi Fungsi implikasi yang digunakan adalah Min

3. Komposisi aturan Ada tiga metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy :

a. Metode Max

b. Metode Additive (SUM)

c. Metode Probabilistik OR

4. Penegasan (defuzzy) Input dari defuzzifikasi adalahsuatu himpunan yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy tersebut.

Beberapa metode defuzzifikasi aturan MAMDANI :

a. Metode Centroid (Composite Moment)

b. Metode Bisektor

c. Metode Mean of Maximun (MOM)

d. Metode Largest of Maximum (LOM)

e. Metode Smallest of Maximum (SOM)

 Model Fuzzy Mamdani

  Contoh: persoalan sederhana dengan 2 input,1 output dan 3 rules 

  Rule: 1  Rule: 1

  IF     x is A3  IF    project_funding is adequate

  OR     y is B1  OR    project_staffing is small

  THEN  z  is C1  THEN     risk is low

  Rule: 2  Rule: 2

  IF     x is A2  IF    project_funding is marginal

  AND    y is B2  AND    project_staffing is large

  THEN  z is C2  THEN       risk is normal

  Rule: 3  Rule: 3

  IF     x is A1  IF  project_funding is inadequate

  THEN  z is C3  THEN       risk is high

 Mamdani Fuzzy Inference

Fuzzifikasi: menentukan derajat keanggotaan

input x1 dan y1 pada himpunan fuzzy

 

Model Fuzzy Mamdani

Inferensi: apikasikan fuzzified  inputs, m(x=A1) = 0.5, m(x=A2) = 0.2, m(y=B1) = 0.1 and m(y=B2) = 0.7, ke  anteseden dari aturan fuzzy

Untuk aturan fuzzy dengan anteseden lebih dari 1, 

operator fuzzy (AND atau OR) digunakan untuk mencapai sebuah nilai tunggal yang merepresentasikan hasil rule fuzzy.  Nilai ini kemudian diaplikasikan ke fungsi keanggotaan konsekuen

  Dua teknik yang umum digunakan untuk mengaplikasikan hasil evaluasi anteseden ke fungsi keanggotaan konsekuen:

 

  Composisi: agregasi keluaran semua rule ke dalam himpunan fuzzy tunggal.

 

  Defuzzifikasi: konversi dari himpunan fuzzy yang dihasilkan dari komposisi ke dalam crisp value.

  Teknik yang paling populer adalah centroid technique.  Metoda ini mencari centre of gravity (COG) dari aggregate set:

  Centre of gravity (COG): mencari titik yang membagi area solusi menjadi 2 bagian yang sama

 Model Fuzzy Sugeno

• Inferensi Mamdani tidak efisien karena melibatkan proses pencarian centroid dari area 2 dimensi.

• Michio Sugeno mengusulkan penggunaan singleton sebagai fungsi keanggotaan dari konsekuen. Singleton adalah sebuah himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan: pada titik tertentu mempunyai sebuah nilai dan 0 di luar titik tersebut.

• Penalaran ini hampir sama dengan penalaran Mamdani, hanya saja output (konsekuen) sistem tidak berupa himpunan fuzzy, melainkan berupa konstanta atau persamaan linear.

  
•Orde-Nol

–Bentuk Umum :

  IF (X is A )  (X is A )  (X is A ) (X is A )  THEN z =  k

  dengan Ai adalah himpunanfuzzy ke-I sebagai anteseden, dan k adalah konstanta(tegas) sebagai konsekuen

•Orde-satu

–Bentuk Umum :

  IF (X is A )  …. (X is A ) THEN z = p

  dengan Ai adalah himpunanfuzzy ke-I sebagai anteseden, dan pi adalah suatu konstanta ke-I dan q merupakan konstantadalam konsekuen

  Perbedaan antara Mamdani dan Sugeno ada pada konsekuen. Sugeno menggunakan konstanta atau fungsi matematika dari variabel input:

  IF     x is A

  AND     y is B

  THEN    z is f(x, y)

  dimana x, y dan z adalah variabel linguistik; A dan B himpunan fuzzy untuk X dan Y, dan f(x, y) adalah fungsi matematik.

Evaluasi Rule

 Komposisi

 Defuzzifikasi

Contoh

• Mengevaluasikesehatan orang berdasarkantinggi dan berat badannya

• Input: tinggi dan berat badan

• Output: kategori sehat

- sangat sehat  (SS), index=0.8

- sehat (A), index=0.6

- agak sehat  (AS), index=0.4

- tidak sehat  (TS), index=0.2

 L2: Rules Evaluation (1)
Tentukan Rules

Tabel Kaidah Fuzzy

 

Dalam bentuk if-then, contoh:
If sangat pendek dan sangat kurus then
           sangat sehat

L2: Rules Evolutions (2)
 

Contoh: bagaimana kondisi kesehatan untuk orang dengan tinggi 161.5 cm dan berat 41 kg?

L2: Rules Evolution (3)

L3: Defuzzification

Diperoleh:
      f = {TS, AS, S, SS} = {0.3, 0.7, 0.2, 0.2}

Penentuan hasil akhir, ada 2 metoda:
1.  Max method: index tertinggi 0.7
                           hasil Agak Sehat

2.   Centroid method, dengan metoda Sugeno:
       Decision Index  = (0.3x0.2)+(0.7x0.4)+(0.2x0.6)+(0.3x0.8) /
                                    (0.3+0.7+0.2+0.2)
                                 = 0.4429
       Crisp decision index = 0.4429
       Fuzzy decision index: 75% agak sehat, 25% sehat

 Model Fuzzy Tsukamoto

•Karakteristik:

  Konsekuen dari setiap aturanif-then fuzzy direpresentasikan dengan himpunan fuzzy monoton

[EMD – Fuzzy Logic, 2004] Contoh:

Sebuah pabrik elektronik dapat berhasil mencapai permintaan terbesar sebanyak 5000 barang/hari. Namun pernah pabrik tersebut hanya mencapai permintaan barang sebanyak 1000 barang/hari. Persediaan barang di gudang dapat mencapai titik tertinggi yaitu 600 barang/hari dan titik terendahnya 100 barang/hari. Dengan semua keterbatasannya, pabrik tersebut dapat memproduksi barang maksimum 7000 barang/hari dan minimalnya 2000 barang/hari. Apabila proses produksi pabrik tersebut menggunakan aturan fuzzy sebagai berikut

[A1]   IF PermintaanBANYAK And Persediaan BANYAK

            THEN Produksi Barang BERTAMBAH ;

[A2]   IF permintaanSEDIKIT And persediaan SEDIKIT

            THEN Produksi Barang BERKURANG ;

[A3]   IF PermintaanSEDIKIT And Persediaan BANYAK

            THEN Produksi Barang BERKURANG ;

[A4]   IF permintaanBANYAK And persediaan SEDIKIT

            THEN Produksi Barang BERTAMBAH ;

Berapa barang elektronik tersebut harus diproduksi jika jumlah permintaannya sebanyak 4000 barang dan persediaan di gudang masih 300 barang ?

Contoh

Permintaan; terdiri atas 2 himpunan fuzzy, yaitu BANYAK dan SEDIKIT

Nilai Keanggotaan :

mPmtSEDIKIT[4000]   = (5000-4000)/(5000-1000)

             = 0.25

mPmtBANYAK[4000]   = (4000-1000)/ (5000-1000)

             = 0.75

Contoh 2

Persediaan; terdiri atas 2 himpunan fuzzy, yaitu BANYAK dan SEDIKIT

Nilai Keanggotaan :

mPsdSEDIKIT[300]    = (600-300)/(600-100)

            = 0.6

mPsdBANYAK[300]   = (300-100)/(600-100)

            = 0.4

 
Contoh 3

 Contoh 4

 Contoh 5

Defuzzification: mencaria nilai z. Dapat dicari dengan metoda centroid Tsukamoto :

Jadi barang elektronik yang harus diproduksi sebanyak 4983

Summary

•Ada 4 tahapan utama sistem pakar fuzzy: fuzzifikasi, inferensi, komposisi, defuzzifikasi.

•2 metoda yang paling banyak dipakai: Mamdani dan Sugeno.

•Metoda Mamdani menggunakan himpunan fuzzy sebagai konsekuen rule, Metoda Sugeno menggunakan fungsi matematik atau konstanta.

•Mamdani: komputasi lebih berat, human-like inference, Sugeno: komputasi lebih efisien tetapi  kehilangan interpretabilitas linguistik.

Sekian Penjelasan Logika Fuzzy, mudah-mudahan bisa membantu
Terima Kasih dan Semangat Belajar :)